申論 1人工智慧的興起，帶動了市場對晶片需求量的飆升，也連帶促成相關產業的蓬勃發展。已知國內有某家公司專門生產晶片半導體製程中使用的圓形光罩。今由此公司之生產線隨機抽檢n 筆光罩樣本並測量其半徑。若已知因某些特定原因造成該公司測量儀器不精準，測量之觀測值會有誤差，令,,...,表其觀測誤差。假設觀測誤差,,...,彼此相互獨立12n12n且服從平均數為1，變異數為2之常態分配，並令為此圓形光罩的真實半徑。令變數Y ,Y,...,Y 為此n 筆樣本之半徑的觀測值，則12nY,i1,2,...,n。令F ( y )為變數Y 之累積分配函數（cumulativeiiidistribution function）。（每小題10 分，共80 分）㈠求出機率PF (Y1)10.5。F (Y2)㈡求出條件機率P F (Y)F (Y )F (Y)0.5。㈢假設和2皆未知，請利用觀測值Y ,Y,...,Y 求出此光罩半徑之最大12n概似估計量（maximum likelihood estimator）。㈣假設和2皆未知，請利用觀測值Y ,Y,...,Y 求出此光罩面積2之均勻12n最小變異不偏估計量（uniformly minimum variance unbiased estimator）。㈤假設和2皆未知，請求出光罩半徑之信賴水準100(1)%的信賴區間。㈥若該公司有兩條獨立作業的生產線，且已知此兩條生產線所生產之光罩的瑕疵率皆為。令變數S 為第i 條生產線上檢測產品直到檢測出i第一個瑕疵品前所需的檢測（良品）次數，i 1,2，請求出機率P[ SS]。㈦續題㈥，令變數UMin{ S ,S}代表取S ,S 之最小值，請求出U 之機率密度函數f (u )。㈧求出題㈦之變數U 的期望值E (U )。
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申論 2臺灣量子國家隊已成軍5 年，去年突破技術瓶頸，成功自製出5 量子位元之超導量子電腦，象徵著臺灣的量子時代來臨。已知團隊開發的量子電腦有一個核心的元件，此核心元件是由三個電路組件串聯及並聯構成。令變數T ,T ,T 分別代表此三個電路組件的壽命，此核心元件是先由第一及第二個電路組件串聯後，再和第三個電路組件並聯而成，因此整個核心元件的壽命是XMax{ Min{ T ,T},T}，此處Max{ a , b}代表取a ,b 之最大值，Min{ a , b} 代表取a ,b 之最小值。假設此三個電路組件的壽命彼此相互獨立，皆服從具有平均數為2 之指數分配。（每小題10 分，共20 分）㈠求出變數X 之機率密度函數f ( x )。㈡求出變數X 之變異數Var (X )。