申論 1臺灣地區有525 家IC 設計公司，其中有5 家公司規模特大。為了估計臺灣地區IC 設計產業的總員工人數Y，除了將5 家特大IC 設計公司調查其員工人數得y, y,…, y以外，另以簡單隨機抽樣法（不歸還）從剩餘的520 家IC 設計公司中抽出20 家公司為樣本，調查其員工人數得y , ..., y。現欲採用下列兩種估計式以估計臺灣地區IC 設計公司之總員工人數Y：Yˆ=∑y , Yˆ∑y∑y=+125i2i20ii=1i=1i=6YˆYˆY6㈠試證及是否皆為 之不偏估計式。（ 分）YˆYˆMean Square ErrorMSE㈡請分別寫出及之均方誤差（；）的定義。（4 分）㈢又已知5 家特大IC 設計公司員工總人數為5,062，而其他520 家IC設計公司員工總人數為60,320；其他520 家IC 設計公司之員工人數11,842,980YˆYˆ的平方和為。試利用上列資料求估計式及的均方誤差之值，並請說明估計Y 時，那一個估計式較好？（4 分）
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申論 2自來水公司想調查臺中市某區住戶在108 年1~3 月的用水情況，該區共有N=20,000 戶，今以簡單隨機抽樣法調查了n=800 戶，得到下列統計資料：y=225.噸，s=36噸，有320 戶用水總量超過了規定的用量標準。㈠請估計該區住戶在108 年1~3 月的總用水量Y 及其該估計之95%的信賴區間。（6 分）㈡請估計該區在108 年1~3 月的總用水量超過了規定的用量標準的住戶數T。（6 分）㈢又自來水公司想在6 月份再做一次該區住戶用水總量的抽樣調查，若要求在95%水準下估計的相對誤差不超過10%，則應該抽多少樣本（戶）才能達到上述之要求？（6 分）
申論 3若一母體共分為三層，其中各層母體大小分別為N=300，N=600 與N=100。根據過去的調查結果知道這三層的母體標準差分別為σ =150，σ =75 與σ =100。㈠若調查總預算（C）只有20,000 元，又固定成本（c）為2,000 元，每一層調查單位成本均相同為50 元，即c=c=c=50元，我們想以分層隨機抽樣法估計式y 估計母體平均數μ，試依紐曼配置（Neyman Allocation）st法，求滿足要求之總樣本大小n 及各層所需之樣本大小（ni = 1,2,3）分別i為若干？（10 分）㈡若我們想以分層隨機抽樣法估計式y 估計母體平均數μ的95%的誤差st界限不超過B=20，試依紐曼配置法，求滿足要求之總樣本大小n 及各層所需之樣本大小（ni = 1,2,3）分別為若干？（10 分）i
申論 4某市轄區有N = 250 個里，共有M = 16,800 戶。今電力公司營業處想估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數μ ，以簡單集體抽樣法自該市隨機抽Y出10 個里進行調查，得如下調查資料：該里住戶裝 該里住戶裝里戶數里戶數置冷氣機之 置冷氣機之（集體）（M）（集體）（M）i總台數（y）i總台數（y）ii註：上述調查資料經計算得∑M =900，∑M2 =91,514，∑y =,2685，iiii=1i=1i=1∑y2 =819,777，∑My=251,551，在簡單集體抽樣法下，電力公司營iiii=1i=1∑10yN11業處利用i，10，∑10等3 個估計式y=i=1y=∑yy=yC1 10C2MniC3ni∑Mi=1i=1ii=1yyiμ（其中 =）來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數Y。則：iMi㈠試以y 、y 、y 來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數μ ，則μ 估C1C2C3YY計值分別為何？（9 分）㈡若以估計式y 估計μ ， 則該估計在95%的信賴度下，其最大可能估C1Y計誤差界限B 為何？（9 分）㈢請根據上述調查資料，試分別求y 、y 、y 等3 個估計式的估計變C1C2C3異數Vˆ(y),i=3,2,1之值為何 ? 並請說明哪一個估計式在估計μ 時有ciY較好的估計效率？（6 分）
申論 5某市政府之行政區按區域別分為南區與北區，該市人事長想了解該市職工去年上半年（1~6 月份）與今年上半年（1~6 月份）因生病請假時數之變動比率，分別自南、北兩區各以簡單隨機抽樣抽出100 名職工進行調查，得相關統計資料如下：職工總數樣本數去年上半今年上半去年上半今年上半去年與今年上區域別 (N)(人)(n)(人) 年樣本平年樣本平年樣本標年樣本標半年樣本相關ii均數(X )均數(Y )準差(S)準差(S) 係數 (ρˆ)iiXiYiXYi1（南區） 1,000 100 18.0 18.9 10.0 10.36 0.98412（北區） 1,500 100 7.5 4.8 5.45 3.50 0.5576其中：設X：去年上半年第i位職工因生病請假的時數；iY ：今年上半年第i位職工因生病請假的時數；iX ：去年上半年因生病請假的樣本平均時數；iY ：今年上半年因生病請假的樣本平均時數；iS ：去年上半年因生病請假時數的樣本標準差；XiS ：今年上半年因生病請假時數的樣本標準差；Yiρˆ：去年與今年上半年因生病請假的時數的樣本相關係數。XYi又已知去年上半年（1~6 月份）南區職工因生病請假的總時數τ =16,300X1小時，北區職工因生病請假的總時數τ =13,800小時。根據上述資料：X2㈠試估計該市南區職工去年上半年（1~6 月份）至今年上半年（1~6 月份）因生病請假的時數之變動比率R 為何？又在95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限B 為何？（6 分）㈡對於㈠之估計問題，若要求在95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限B 不超過0.02，試問應抽出多少樣本才足夠？（6 分）㈢試以比率估計（ratio estimation）估計該市南區職工今年上半年（1~6月份）因生病請假的平均時數μ 及該市北區職工今年上半年（1~6 月Y1份）因生病請假的平均時數μ。（6 分）Y2㈣若視上述調查資料為分兩層（南區及北區），利用分層隨機抽樣法調查所得，請你幫忙該市人事長用層別比率估計式（separate ratioestimator）估計該市2,500 位職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假的平均時數μ 。又其在95%的信賴度下，其最大可能估計誤差界限BY為何？（6 分）