申論 12026 年國際貨幣基金組織、世界銀行與聯合國糧食計劃署聯合聲明指出，美伊最近在中東的衝突導致油價與化肥價格飆升，推高糧食價格，造成全球性系統性生存危機。假設某國際組織蒐集了14 個低收入國家在衝突前後的化肥價格（以變數X 表示，單位：美元／噸）及糧食價格指數（以變數Y 表示）等相關數據，用以評估此危機之影響。（註：答案數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數表示）（每小題10 分，共30 分）㈠考慮用最小平方法建立簡單直線迴歸模型YX,i01iii 1,2,...,14，假設誤差,,...彼此相互獨立且服從平均數為0，變異數為2之常態分配。求在H:0之下，迴歸之判定係數（coefficient of determination）R 2之機率密度函數。㈡以14 個國家的資料及最小平方法進行估計，若以Y 為應變數、X 為自Yˆ402XXY變數作簡單直線迴歸，得；但若以 為應變數、 為自變Xˆ300.375Y數作簡單直線迴歸，得。針對題㈠之模型YX,i1,2,...,14，請計算用以檢定迴歸模型整體顯著性i01ii之F 檢定統計量之值。14(XX)2100ˆVar (ˆ)㈢續題㈡，若已知，求的標準誤之估計值。i1i11
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申論 2全球低軌衛星網路已大規模部署，衛星覆蓋範圍延伸至偏遠地區與極地，提供高速且穩定的聯網服務。某低軌衛星星座由800 枚衛星組成，每枚衛星每日可服務隨機到達的連線請求。今工程師從營運資料中抽取樣本，以評估覆蓋率與延遲表現。已知每枚衛星每小時接收到的連線請求次數服從卜瓦松（Poisson）分配，其平均發生頻率為次／小時。（註：答案數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數或自然指數e 表示）（每小題10 分，共70 分）㈠假設過去針對某枚衛星觀測到一組連線請求間隔時間的隨機樣本T ,T,...,T（單位：小時），且假設E (T )1,i1,2,...,n。請以隨機樣本12niT ,T,...,T ，求出該枚衛星自某時間點起，「等候下一次連線請求的時12n間在30 分鐘以內」之發生機率的最大概似估計量（maximum likelihoodestimator）。㈡已知某極地區域每日連線請求次數N 服從具有平均數為50 之Poisson分配，另已知每次請求的資料量為彼此相互獨立，具有平均數0.2 MB的指數分配，亦即，若令M 為第i 次請求連線的資料量，則M ,M,...i12為彼此相互獨立且均具有平均數0.2 MB 的指數分配。假設N 與M 獨i立。求該極地區域每日連線總資料量SNM的變異數。i1i㈢衛星聯網需要與地面核心網對接。若已知有三個獨立運行的地面接收站A、B 與C，其系統發生「封包遺失」的次數分別符合獨立的Poisson分配，且其遺失的頻率分別為0.3次／小時、0.2次／小時及AB0.5次／小時。求一小時內這三個接收站合計發生至少1 次封包C遺失的機率。㈣續題㈢，若在某小時內已知這三個接收站合計發生3 次封包遺失，求這3 次封包遺失全部都不是由A 接收站造成的條件機率。㈤某低軌衛星上裝有三個獨立運作、相互備援的訊號偵測感測器，每個感測器的失效時間均服從平均數為6（年）的指數分布。求這三個感測器中，「最後一個」失效時間的期望值。㈥續題㈤，若已知這三個感測器中，最早失效的感測器其失效時間已經超過1 年的條件下，求它在未來1 年內就會失效的條件機率。㈦續題㈤，令Z 為第i 個感測器的失效時間，求第一個失效的感測器失i效後，偵測系統還能存活的時間的期望值E[ Max{ Z ,Z ,Z}Min{ Z ,Z ,Z}]。