申論 12026 年金融市場見證了比特幣角色的重大轉變。隨美伊衝突升溫，黃金發揮避險功能大幅飆升，比特幣卻因其高風險係數屬性隨流動性收縮而下跌。研究員欲探討比特幣月收益率（以變數Y 表示，%）與黃金月收益率（以變數X 表示，%）的關係，隨機抽取18 個月份的數據做分析。（每小題10 分，共30 分）㈠若用最小平方法，以黃金月收益率（X ）為自變數，比特幣月收益率Yˆ102X（Y ）為應變數，建立簡單直線迴歸模型，得，判定係數為R 20.36，且已知這18 個月黃金月平均收益率為8。請以Y 為自變數，X 為應變數，用最小平方法建立簡單直線迴歸模型。㈡續題㈠，若考慮簡單直線迴歸模型YX，i1,2,...,18，且假i01ii設誤差,,...,彼此相互獨立且服從平均數為0，變異數為2之常態分配，求檢定虛無假設H:0之t 檢定統計量之值。㈢續題㈠，若研究員因研究之需求，將變數進行線性轉換，定義新變數D2X及E3Y5，i1,2,...,18。請以D 為自變數，E 為應變數，iiiiii用最小平方法建立新的簡單直線迴歸模型。
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申論 2AI 正從螢幕虛擬層面跨足實體世界。亞馬遜與寶馬等巨頭透過AI 調度物流機器人，實現倉儲與生產線的自主作業，大幅優化生產效率與精確度。在某自動化智慧倉儲中，大量物流機器人負責搬運貨物。根據大數據監控，每台機器人在執行單次精密對接任務時，成功的機率為p，且已知每次任務成功與否彼此相互獨立。（每小題10 分，共20 分）㈠令變數R為該機器人「直到第一次對接失敗為止，所需對接次數」。假設有n 台獨立運作的機器人，其直到第一次對接失敗為止所需對接次數，分別定義為R ,R,...,R 。請利用隨機樣本R ,R,...,R ，求出該機器12n12n人能連續穩定運作了50 次任務而未出錯之下，但在接下來的2 次任務內會出錯的條件機率P[ R52 |R50]的動差法估計量（method ofmoments estimator）。㈡令變數W 為該機器人「直到發生第二次對接成功時，期間所累積的失敗次數」，求出W 之期望值。
申論 3當前全球進入半導體軍備競賽，先進製程與AI 晶片已成為決定科技霸權的戰略制高點。某跨國晶圓代工巨頭為評估海外新設「AI 先進製程晶圓廠」的曝光機之設備穩定度，針對極紫外光曝光後晶圓特定關鍵區域上的微粒缺陷數進行抽樣檢測。根據歷史數據顯示，該區域的微粒缺陷數（以變數X 表示）服從下列之機率分配：0.3,x0（極佳）f ( x)0.4,x1（合格）0.3,x2（瑕疵）現製程良率工程師隨機檢測2 片晶圓並觀測該特定關鍵區域的微粒數，記為隨機樣本X ,X ，並計算其樣本平均數XXX與樣本標準差S(XX)2(XX)2XX105012。假設 與 彼此相互獨立。（每小題 分，共 分）㈠求樣本標準差S 之機率密度函數。㈡求樣本平均數X 與樣本標準差S 之間的共變異數cov (X , S )。㈢求X 1之下，樣本標準差S 之條件期望值E ( S |X 1)。㈣根據歷史數據顯示，該極紫外光曝光機在對每片晶圓進行曝光時，特定關鍵區域「無微粒缺陷」（即完全達標合格）的機率為0.3，且每片晶圓的檢測結果彼此相互獨立。若該區域出現微粒缺陷，則視為一次「出錯或失敗」。工程師為了進行設備耐受度測試，設定曝光機必須直到累積發生第2 次「無微粒缺陷」（合格）時才停止測試。令隨機變數W 表示在此期間該曝光機所累積的「出錯（失敗）次數」。請寫出W的機率密度函數。㈤續題㈣，品管團隊關心曝光機的連續穩定運作能力。令隨機變數R 為該曝光機檢測「直到第一次發生微粒缺陷（出錯）」為止，所累積的總曝光晶圓次數（含出錯的那一次）。求該曝光機在連續穩定運作了100次任務而未出錯的條件下，在接下來的1 次任務內（即第101 次）也不會出錯的條件機率P[ R101|R100]。