申論 1假設有一個記錄某產品尺寸（如：公厘）的管制圖（如圖一），其中x 軸是時間，y軸是尺寸，y 軸上有中心線（central limit, CL）為μ ，μ +kσ為上界限（upper00X(n)limit, UL），μ −kσ為下界限（lower limit, LL）。品管工程師每h 小時抽檢一次，0X(n)每一次抽出n 個產品，量測出該n 個產品尺寸X, X, ..., X，再將其樣本平均數12nX(n)點在管制圖一上。如果樣本平均數X 落在上下界限外，則宣告製程有問題（如：平均數偏移），停止生產，並找尋製程偏移原因（或稱可歸屬的原因）。X(n)停機UL=μ +kσ0X(n)CL=μLL=μ −kσ0X(n)時間, t圖一：X(n)管制圖在本題中之假設條件如下：i. 假設X, X, ..., X 獨立（independent）12nii. 假設製程正常時，產品尺寸的平均數E(X)=μ；而製程偏移後，產品尺寸的平均數E(X)=μ +δσiii. 製程正常或偏移，產品尺寸的變異數皆為var(X)=σ2iv. 假設中央極限定理適用（亦即X(n)服從常態分配）。求算當k = 3, n = 16, μ= 10,σ = 0.2, δ = 1 時v. 令α 表示製程正常時，X(n)落在上下界限外的機率vi. β 表示製程偏移後，X(n)落在上下界限內的機率問題：㈠以繪圖方式表示α 與β（提示：可使用與圖一相同之x 軸與y 軸）。（10 分）㈡解釋本問題中（α 與β）與統計上檢定（testing hypothesis）常用的虛無假設（nullhypothesis）、型I 誤差與型II 誤差之關係？（5 分）
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申論 2繼續題一，但假設條件有改變㈠若σ 未知，根據X, X, ..., X 提出一個估計σ 的合理估計量，並解釋為何你所提012n0出之估計量為估計σ 之合理估計量。（10 分）㈡你在前一小題所提出的估計量是否為σ 的不偏估計量？不論是與否都請證明之。（10 分）㈢若X, X, ..., X 不獨立（dependent）且σ 未知，如何估計σ？（10 分）12n0X(n)（請接第二頁）年公務人員高等考試三級考試試題 代號：37050第二頁類 科： 工業工程科 目： 工程統計學與品質管制
申論 3繼續題一，圖二為一個生產週期（從開始生產到下一次開始生產之時間間距）之各事件與相關隨機變數：WW Wt t t t t t t0123456t時間開始生產 錯誤 前次抽樣後次抽樣可歸屬原因被 找出並移除偵測出，並停止生產 可歸屬原因，開始生產警訊可歸屬原因產生T圖二：X 一個生產週期T 內之各事件與相關隨機變數W：開始生產到第一次可歸屬原因產生之時間間距W：開始生產到第一次錯誤警訊之時間間距W：可歸屬原因產生到歸屬原因被偵測出之時間間距令製程發生可歸屬原因所需時間W 的隨機變數服從指數分配，其機率分配（probabilitydensity functionf(w)=λe−λw,λ>0αβh）為。將下列寫成、、 之函數：W㈠E(W)（5 分）㈡E(W)（5 分）㈢E(W)（5 分）
申論 4假如A 工廠的出貨規定是：每批產品不良率0.01 以下方可出貨。品管工程師某日在某批產品中，隨機抽取100 個產品，其中發現2 個不良品。該工程師是否可以藉此判定：此批貨為不良品，因此不許出貨？（以α = 0.05 為檢定尺度。）（20 分）
申論 5投擲n 枚公正的錢幣，令出現正面之值為1；出現反面之值為0。則此n 枚公正錢幣出現的平均值之抽樣分配為何？抽樣分配以繪圖方式表示之。㈠令n 為1（5 分）㈡令n 為2（5 分）㈢令n 為100（此小題以示意圖繪出即可）（5 分）㈣說明以上三個圖形的意義（5 分）（請接第三頁）年公務人員高等考試三級考試試題 代號：37050第三頁類 科： 工業工程科 目： 工程統計學與品質管制附表：標準常態分配，表內的數值為Φ(z)，如圖中陰影面積Φ(z)zz