高普考題庫
106 年 106年公務人員高等考試三級考試暨普通考試

微積分與微分方程

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本卷皆為申論題，點「看答案與解析」查看擬答。

申論 1㈠求極限值：lim0。（10 分）x→02x2㈡已知y =f(x)滿足方程式x+6x3y3+y−8=0且f)1(=1，求圖形f(x)在點,1(f1())的切線方程式。（10 分）
申論 2利用Lagrange 乘數法（The Method of Lagrange Multipliers）求函數f(x,y)=200x.075y.025在g(x ,y)=400x+600y−120000=0的條件下之最大值。（20 分）GHGG
申論 3令向量函數F(x,y,z)=(xyz2)i+(3yzx2)j+(5xzy2)k。（每小題10 分，共20 分）GG㈠試求F的散度（Divergence）：∇•F(x,y,z)。GG㈡試求F的旋度（Curl）：∇×F(x,y,z)。
申論 4㈠求下列的積分值：（10 分）∫∫sinx2+y2dxdy，其中Ω={(x,y|)π≤x2+y2≤2π}。Ω㈡利用格林定理（Green Theorem）計算下列線積分：（10 分）∫22Cyx2yx(2xy+ex)dx+(2x+ey)dy，其中曲線 是由拋物線 =與直線 =所圍成封閉C區域之邊界。
申論 5求下列微分方程組的解：（20 分）dy1=2y(t)+2y(t)，y(0)=5，dt231dy2=2y(t)+2y(t)，y(0)=−1，dt312dy3=2y(t)+2y(t)，y(0)=−1。dt123